等差數列
如果一個等差數列的首項記作 a1，公差記作 d，那麼該等差數列第 n 項 an 的一般項為：
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
換句話說，任意一個等差數列 {an} 都可以寫成
{
a
,
a
+
d
,
a
+
2
d
,
⋯
,
a
+
(
n
−
1
)
d
}
{\displaystyle \{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}}
在一個等差數列中，給定任意兩相連項 an+1 和 an ，可知公差
d
=
a
n
+
1
−
a
n
{\displaystyle d=a_{n+1}-a_{n}}
給定任意兩項 am 和 an ，則有公差
d
=
a
m
−
a
n
m
−
n
{\displaystyle d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}
此外，在一個等差數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，a1 + a3 = 2a2。
更一般地說，有：
a
n
−
1
+
a
n
+
1
=
2
a
n
{\displaystyle a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}}
證明如下：
a
n
−
1
+
a
n
+
1
=
[
a
+
(
n
−
2
)
d
]
+
(
a
+
n
d
)
=
2
a
+
(
2
n
−
2
)
d
=
2
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
2
a
n
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}}
證畢。
從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：
a
n
=
a
n
−
1
+
a
n
+
1
2
{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}
此結果從上面直接可得。
如果有正整數 m, n, p, q，使得
m
+
n
=
p
+
q
{\displaystyle m+n=p+q}
，那麼則有：
a
m
+
a
n
=
a
p
+
a
q
{\displaystyle a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}}
證明如下：
a
m
+
a
n
=
[
a
+
(
m
−
1
)
d
]
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
2
a
+
(
m
+
n
−
2
)
d
=
2
a
+
(
p
+
q
−
2
)
d
=
[
a
+
(
p
−
1
)
d
]
+
[
a
+
(
q
−
1
)
d
]
=
a
p
+
a
q
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}}
由此可將上面的性質一般化成：
a
n
−
k
+
a
n
+
k
=
2
a
n
{\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}}
a
n
=
a
n
−
k
+
a
n
+
k
2
{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}}
其中 k 是一個小於 n 的整數。
給定一個等差數列
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
，則有：
{
b
+
a
n
}
{\displaystyle \{b+a_{n}\}}
是一個等差數列。
{
b
⋅
a
n
}
{\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}}
是一個等差數列。
{
b
a
n
}
{\displaystyle \{b^{a_{n}}\}}
是一個等比數列。
{
b
a
n
}
{\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}}
是一個等諧數列。
從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成
a
n
=
p
+
q
n
{\displaystyle a_{n}=p+qn}
形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 d = q，首項 a = p + q。