海伦公式
海伦公式（英語：Heron's formula或Hero's formula），又譯希罗公式[1]。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。[2]
假設有一個三角形，邊長分別為
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
，三角形的面積
A
{\displaystyle A}
可由以下公式求得：
A
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
，其中
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂併大斜幂，減中斜幂，餘半之，自乘於上；以小斜幂乘大斜幂，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。”若以大斜记为
a
{\displaystyle a}
，中斜记为
b
{\displaystyle b}
，小斜记为
c
{\displaystyle c}
，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：
A
=
1
4
[
a
2
c
2
−
(
a
2
+
c
2
−
b
2
2
)
2
]
{\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}
，其中
a
≥
b
≥
c
{\displaystyle a\geq b\geq c}
像其他中國古代的數學家一样，他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。
由於任何
n
{\displaystyle n}
边的多邊形都可以分割成
n
−
2
{\displaystyle n-2}
个三角形，所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明[编辑]
利用三角公式和代数式变形来证明[编辑]
与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
的对角分别为
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
，则余弦定理为
cos
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
利用和平方、差平方、平方差等公式，从而有
sin
C
=
1
−
cos
2
C
=
(
1
+
cos
C
)
(
1
−
cos
C
)
=
(
1
+
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
)
(
1
−
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
)
=
(
2
a
b
+
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
a
b
)
(
2
a
b
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
a
b
)
=
(
(
2
a
b
+
a
2
+
b
2
)
−
c
2
2
a
b
)
(
c
2
−
(
a
2
+
b
2
−
2
a
b
)
2
a
b
)
=
[
(
a
+
b
)
2
−
c
2
2
a
b
]
[
c
2
−
(
a
−
b
)
2
2
a
b
]
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
c
+
a
−
b
)
(
c
−
a
+
b
)
2
a
b
=
(
2
s
)
(
2
s
−
2
c
)
(
2
s
−
2
b
)
(
2
s
−
2
a
)
2
a
b
=
2
a
b
s
(
s
−
c
)
(
s
−
b
)
(
s
−
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin C&={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left({\frac {2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})}{2ab}}\right)\left({\frac {2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left({\frac {(2ab+a^{2}+b^{2})-c^{2}}{2ab}}\right)\left({\frac {c^{2}-(a^{2}+b^{2}-2ab)}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left[{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}}\right]\left[{\frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}}\right]}}\\&={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}}\\&={\frac {\sqrt {(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}}\\&={\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-c)(s-b)(s-a)}}\end{aligned}}}
A
=
1
2
a
b
sin
C
=
a
b
2
⋅
2
a
b
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin C\\&={\frac {ab}{2}}\cdot {\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}
利用勾股定理和代数式变形来证明[编辑]
b
2
=
h
2
+
d
2
{\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}
a
2
=
h
2
+
(
c
−
d
)
2
{\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}
a
2
−
b
2
=
c
2
−
2
c
d
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd}
d
=
−
a
2
+
b
2
+
c
2
2
c
{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}
h
2
=
b
2
−
(
−
a
2
+
b
2
+
c
2
2
c
)
2
=
(
2
b
c
−
a
2
+
b
2
+
c
2
)
(
2
b
c
+
a
2
−
b
2
−
c
2
)
4
c
2
=
(
(
b
+
c
)
2
−
a
2
)
(
a
2
−
(
b
−
c
)
2
)
4
c
2
=
(
b
+
c
−
a
)
(
b
+
c
+
a
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
4
c
2
=
2
(
s
−
a
)
⋅
2
s
⋅
2
(
s
−
c
)
⋅
2
(
s
−
b
)
4
c
2
=
4
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
c
2
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}
A
=
c
h
2
=
c
2
4
⋅
4
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
c
2
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}
用旁心來證明[编辑]
設
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup ABC}
中，
A
B
¯
=
c
,
B
C
¯
=
a
,
C
A
¯
=
b
{\displaystyle {\overline {AB}}=c,{\overline {BC}}=a,{\overline {CA}}=b}
。
I
{\displaystyle I}
為內心，
I
a
,
I
b
,
I
c
{\displaystyle I_{a},I_{b},I_{c}}
為三旁切圓。
∵
∠
I
a
B
I
=
∠
I
a
C
I
=
90
o
{\displaystyle \because \angle I_{a}BI=\angle I_{a}CI=90^{\mathsf {o}}}
∴
I
a
C
I
B
{\displaystyle \therefore I_{a}CIB}
四點共圓，並設此圓為圓
O
{\displaystyle O}
。
過
I
{\displaystyle I}
做鉛直線交
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
於
P
{\displaystyle P}
，再延長
I
P
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {IP}}}
，使之與圓
O
{\displaystyle O}
交於
Q
{\displaystyle Q}
點。再過
I
a
{\displaystyle I_{a}}
做鉛直線交
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
於
R
{\displaystyle R}
點。
先證明
◻
I
a
Q
P
R
{\displaystyle \Box I_{a}QPR}
為矩形：
∵
∠
Q
P
R
=
90
o
,
∠
I
a
R
P
=
90
o
{\displaystyle \because \angle QPR=90^{\mathsf {o}},\angle I_{a}RP=90^{\mathsf {o}}}
，又
∠
I
a
Q
I
=
∠
I
a
B
I
=
90
o
{\displaystyle \angle I_{a}QI=\angle I_{a}BI=90^{\mathsf {o}}}
(圓周角相等)。
∴
◻
I
a
Q
P
R
{\displaystyle \therefore \Box I_{a}QPR}
為矩形。因此，
I
a
R
¯
=
Q
P
¯
{\displaystyle {\overline {I_{a}R}}={\overline {QP}}}
。
P
I
¯
=
{\displaystyle {\overline {PI}}=}
內切圓半徑
=
△
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle ={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}}
，
I
a
R
¯
=
{\displaystyle {\overline {I_{a}R}}=}
旁切圓半徑
=
△
b
+
c
−
a
2
{\displaystyle ={\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}}
。且易知
B
P
¯
=
c
+
a
−
b
2
,
P
C
¯
=
a
+
b
−
c
2
{\displaystyle {\overline {BP}}={\frac {c+a-b}{2}},{\overline {PC}}={\frac {a+b-c}{2}}}
。由圓冪性質得到：
P
C
¯
×
P
B
¯
=
P
Q
¯
×
P
I
¯
=
I
a
R
¯
×
P
I
¯
{\displaystyle {\overline {PC}}\times {\overline {PB}}={\overline {PQ}}\times {\overline {PI}}={\overline {I_{a}R}}\times {\overline {PI}}}
。故
a
+
b
−
c
2
×
c
+
a
−
b
2
=
△
a
+
b
+
c
2
×
△
b
+
c
−
a
2
{\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}\times {\frac {c+a-b}{2}}={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}\times {\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}}
⇒△=
a
+
b
+
c
2
×
b
+
c
−
a
2
×
a
+
c
−
b
2
×
a
+
b
−
c
2
{\displaystyle \Rightarrow \bigtriangleup ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\times {\frac {b+c-a}{2}}\times {\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}}}}
其他形式[编辑]
海倫公式可改寫成以幂和表示：
A
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
a
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}}
[註 1]
證明
將海倫公式略為變形，知
16
A
2
=
[
(
a
+
b
)
+
c
]
[
(
a
+
b
)
−
c
]
×
[
c
+
(
a
−
b
)
]
[
c
−
(
a
−
b
)
]
{\displaystyle 16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]}
多次使用平方差公式，得
16
A
2
=
[
(
a
+
b
)
2
−
c
2
]
×
[
c
2
−
(
a
−
b
)
2
]
=
[
2
a
b
+
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
]
×
[
2
a
b
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
]
=
(
2
a
b
)
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
=
4
a
2
b
2
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
+
2
a
2
b
2
−
2
b
2
c
2
−
2
a
2
c
2
)
=
(
2
a
2
b
2
+
2
b
2
c
2
+
2
a
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
a
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}}
等號兩邊開根號，再同除以4，得
A
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
a
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}}
註釋[编辑]
^ 應用實例，如外森比克不等式的證明
資料來源[编辑]
^ 香港大學教育學院母語教學教師支援中心：數學科詞彙表. [2009-07-06]. （原始内容存档于2009-06-16）.
^ Weisstein, Eric W. (编). Heron's Formula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-07-06]. （原始内容存档于2015-09-05） （英语）.
參見[编辑]
婆罗摩笈多公式：海倫公式對圆内接四边形的推廣。
外部連結[编辑]
海龍公式 1
海龍公式 2